Родился 15 июня 1915 года в деревне Колтуки Тумского района Рязанской области в семье крестьянина-бедняка. Русский. В конце 20-х годов Анисичкины переселились в поселок Успенский Краснозерского района Новосибирской области.Окончил Петропавловскую школу колхозной молодежи. С 1933 года работал учителем математики и черчения в Краснозерском. В 1936 году назначен на должность директора Лобинской, а через два года – Половинской школы Краснозерского района. В 1939 году окончил Новосибирский педагогический институт.
В Красной Армии с 1939 года. Окончив полковую школу, стал командиром орудия. В 1941 году окончив курсы младших лейтенантов, был назначен командиром огневого взвода.
Участник Великой Отечественной войны с июля 1941 года.
В августе 1941 года был контужен. После выздоровления участвовал в боях под Сталинградом, в Курской битве, в форсировании Днепра. Сражался на Калининском, Степном, 2-м и 3-м Украинском фронтах. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.
Командир огневого взвода 139-го гвардейского артиллерийского полка гвардии лейтенант
Федор Анисичкин первым 7 октября 1943 года в районе села Градижск, ныне поселок городского типа Глобинского района Полтавской области Украины, переправился через Днепр.
Под огнем противника он установил три орудия своего взвода на прямую наводку и открыл по врагу огонь, тем самым обеспечил переправу нашей пехоты через реку. В ходе боя за плацдарм взвод гвардии лейтенанта Ф.И. Анисичкина уничтожил противотанковое орудие, два пулемета, совместно с другими подразделениями отразил три вражеские контратаки.
10 октября при отражении очередной контратаки его взводом было уничтожено пять танков и много гитлеровцев. Был ранен, но, несмотря на ранение, остался в строю.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 февраля 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии лейтенанту Анисичкину Федору Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза.
Затем командовал батареей, дивизионом. Участвовал в Корсунь-Шевченковской и Ясско-Кишиневской операциях, в освобождении столицы Румынии – города Бухареста, столицы
Венгрии – города Будапешта, столицы Австрии – города Вены. В апреле 1945 года в боях за Вену был тяжело ранен.
В октябре 1946 года капитан Ф.И. Анисичкин демобилизован по состоянию здоровья.
Вернулся на родину в Краснозерский район. Был директором Веселовской школы.
Затем работал директором Мошковской средней школы № 1, был секретарем Мошковского РК КПСС, возглавлял Барлакский совхоз.
Жил и работал в Новосибирске, в 1965–1967 годах возглавлял школу № 170.
Награжден орденами Ленина, Отечественной войны 2-й степени, Красной Звезды, «Знак Почета», двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, многими медалями.
Ф.И. Анисичкин вел активную работу по военно-патриотическому воспитанию молодежи.
Имя Героя носила пионерская дружина школы в его родной деревне Колтуки. На территории гвардейского Звенигородского Краснознаменного ракетного полка (п. Гвардейский) оборудован уголок Ф.И. Анисичкина.
На здании Новосибирской средней образовательной школы № 170, а также на доме по ул. Ядринцевская, 27, в память о Герое установлены мемориальные доски.
На центральной площади р.п. Краснозерское установлен бюст Героя. В Новосибирске имя Героя Советского Союза Федора Ивановича Анисичкина увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы. Портрет Ф.И. Анисичкина помещен на стенде в честь Героев Советского Союза в Первомайском сквере (Центральный район) [94, 178, 240, 433, 453, 516, 783, 797, 958].