Родился в 1914 году в селе Казаткуль ныне Татарского района Новосибирской области в семье крестьянина. Русский.
Окончил неполную среднюю школу. В 19 лет работал председателем исполкома казаткульского сельсовета. Затем работал на стройках и на азотно-туковом заводе в Кемерове.
В рядах Красной Армии с 1936 года. Окончил курсы младших лейтенантов. Участник боев на реке Халхин-Гол в 1939 году. В действующей армии с 1942 года. Член ВКП(б).
11 апреля 1942 года командир батальона 536-го стрелкового полка (114-я стрелковая дивизия, 7-я отдельная армия) старший лейтенант Волков успешно атаковал противника в районе поселка Подпорожье (ныне город Ленинградской области), занял важный опорный пункт. В ходе боя лично забросал дзот гранатами, 
обеспечив продвижение батальона. Были захвачены важные документы и трофеи.
обеспечив продвижение батальона. Были захвачены важные документы и трофеи.
Более двух суток батальон Волкова стойко оборонял занятый рубеж, неся большие потери. В живых осталось лишь пятнадцать человек, да и те почти все были ранены. И.А. Волков лично уничтожил более 60 врагов. Погиб в бою 14 апреля 1942 года.
Звание Героя Советского Союза Ивану Архиповичу Волкову присвоено 22 февраля 1943 года (посмертно).
Награжден орденом Ленина, медалью.
В городе Подпорожье и родном селе установлены бюсты Героя, школа в селе Казаткуль носит его имя. В городе Кемерове на проходной азотно-тукового завода в честь И.А. Волкова установлена мемориальная доска. В Новосибирске имя Героя Советского Союза Ивана Архиповича Волкова увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [178, 240, 244, 417, 704].