Родился в начале ноября 1923 года в селе Лух (ныне поселок городского типа) Ивановской области, в семье служащего.
Русский. В 1939 году, после окончания 7 классов Лухской школы, он поступил во Владимирский энергомеханический техникум.
Призван в армию в феврале 1942 года и направлен в военное училище. В 1943 году окончил Новосибирское военное пехотное училище и был направлен на фронт командиром взвода.
В составе младший лейтенант Бобров участвовал в боях за освобождение Украины.
1 октября 1943 года в числе первых в полку комсомолец Бобров преодолел реку Днепр юго-восточнее города Кременчуга Полтавской области. Взвод под его командованием подавил 8 пулеметных точек, уничтожив 150 немецких солдат и офицеров, и, продвинувшись по правому берегу реки на два километра, закрепился на достигнутом рубеже. Захваченный взводом плацдарм был удержан до прихода остальных подразделений.
28 октября 1943 года в одном из наступательных боев по освобождению Правобережной Украины Николай Бобров погиб.
Похоронен в одном километре западнее села Чикаловка Кременчугского района Полтавской области Украины.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 февраля 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм командиру взвода 956-го стрелкового полка 299-й стрелковой дивизии 53-й армии Степного фронта младшему лейтенанту Боброву Николаю Галактионовичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).
Награжден орденом Ленина.
На родине Героя, в поселке городского типа Лух Ивановской области, в 1950-е годы ему был установлен памятник (варварски снесенный в марте 2007 года). Новый памятник открыт в мае 2007 года, на улице имени Николая Боброва [178, 519, 787, 843].