Родился 15 августа 1946 года в Уфе в семье военнослужащего. Русский. С 1960 года проживал в селе Кирово Курганской области.
Окончил Курганский машиностроительный институт по специальности «инженер-механик» (1969), Военную академию бронетанковых войск им. Р.Я. Малиновского (с отличием) в 1976 году, Военную академию Генерального штаба (с отличием) в 1989 году.
В 1969 году был призван в армию на два года лейтенантом.
Военную службу начал с должности заместителя командира танковой роты по технической части в Среднеазиатском военном округе.
С декабря 1970 по август 1973 года – командир танковой роты в Среднеазиатском военном округе. В 1971 году был зачислен по собственному желанию в кадровый офицерский состав.
С июня 1976 года – заместитель командира – начальник штаба танкового полка, с августа 1978 года – командир танкового полка.
С февраля 1981 года – заместитель командира – начальник штаба танковой дивизии в Центральной группе войск (Чехословакия). С июня 1982 года – командир 78-й танковой дивизии в Среднеазиатском военном округе (Казахстан).
С июля 1989 года – заместитель командующего 28-й армией Белорусского военного округа (Гродно, Белоруссия). С мая 1992 года – командующий 7-й гвардейской танковой Краснознаменной армией Белорусского военного округа.
С августа 1992 года – заместитель начальника Главного Оперативного Управления Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, с февраля 1993 года – 1-й заместитель начальника этого управления.
С февраля 1995 года – командующий войсками Северо-Кавказского военного округа, в 1994–1996 годах одновременно возглавлял группировку российских войск в Чеченской Республике. В 1995 году награжден орденом Мужества.
С мая 1997 года исполнял обязанности начальника Генерального штаба ВС РФ, с июня 1997 года – начальник Генерального штаба ВС РФ – 1-й заместитель министра обороны Российской Федерации. 25 ноября 1997 года присвоено звание генерала армии.
Указом Президента Российской Федерации от 27 октября 1999 года Анатолию Васильевичу Квашнину присвоено звание Героя Российской Федерации.
13 ноября 1998 года утвержден представителем Российской Федерации в Исполнительном Комитете Союза Белоруссии и России.
В июне 2000 года был включен в состав Совета Безопасности Российской Федерации; в январе 2001 года вошел в состав созданного по Указу Президента России Оперативного штаба по управлению контртеррористическими действиями в Северо-Кавказском регионе. В мае 2001 года был назначен членом Государственной комиссии по химическому разоружению.
При поддержке генерала армии Анатолия Квашнина в Польше издана уникальная книга – Каталог захоронений советских воинов, военнопленных и гражданских лиц, погибших в годы Второй мировой войны и погребенных на территории Республики Польша.
С 19 июля 2004 года – в отставке. С сентября 2004 года – полномочный представитель Президента Российской Федерации в Сибирском федеральном округе. Член Совета при Президенте Российской Федерации по реализации приоритетных национальных проектов и демографической политике, заместитель председателя государственной комиссии по вопросам социально-экономического развития Дальнего Востока, Республики Бурятия, Забайкальского края и Иркутской области.
Награжден орденами «За заслуги перед Отечеством» 3-й и 4-й степени, Мужества, Почета, «За службу Родине в Вооруженных Силах СССР» 3-й степени, многими медалями. Удостоен высшей награды Фонда международных премий – Ордена Николая Чудотворца «За приумножение добра на Земле». Награжден французским орденом Почетного легиона 2-й степени за вклад в укрепление российско-французского сотрудничества в военной области, орденом Югославской звезды. Почетный гражданин города Махачкалы.
Кандидат социологических наук, доктор военных наук, член-корреспондент Российской академии ракетно-артиллерийских наук (РАРАН) [346, 787, 858, 1087, 1108, 12386].