Родился 27 июля 1915 года в деревне Вандакурово ныне Колыванского района Новосибирской области в семье крестьянина. Русский.
Образование начальное. Был председателем сельсовета.
В Красной Армии с 1939 года. Службу проходил на Дальнем Востоке, окончил полковую школу, получив звание помощника пулеметного взвода.
В боях Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Воевал под Москвой. Был ранен в 1943 году, после лечения в госпитале вернулся в свою часть.
Стрелок 846-го стрелкового полка (267-я стрелковая дивизия, 51-я армия, 4-й Украинский фронт) рядовой Цуканов в боях за хутор Дергачи в 2 км от г. Севастополя 8 мая 1944 года одним из первых ворвался в траншею противника и в короткой схватке сразил 5 и захватил в плен 4 гитлеровцев. 23 мая 1944 года награжден орденом Славы 3-й степени.
Полк, в котором служил Алексей Алексеевич, был переброшен на 1-й Прибалтийский фронт. Командир пулеметного расчета 510-го стрелкового полка (154-я стрелковая дивизия, 2-я гвардейская армия, 3-й Белорусский фронт) года в бою в районе населенных пунктов Курненен, Иургайштен, Жесбен (14 км восточнее и юго-восточнее г. Даркемен – ныне Озерск Калининградской области) зашел в тыл врага и из пулемета поразил расчеты 3 огневых точек. 22 февраля 1945 года награжден орденом Славы 2-й степени.
В боях под Вильнюсом Алексей получил второе ранение.
Догнал после выздоровления свою часть у Кенигсберга.
Командир пулеметного расчета того же полка Цуканов 6 марта 1945 года в тяжелом наступательном бою у населенного пункта Штольценберг (2 км южнее Цинтер – ныне города Корнево Калининградской области) сразил свыше 10 гитлеровцев, подавил огневую точку. 7 марта 1945 года, ворвавшись в окопы противника, уничтожил пулемет с расчетом. Огнем из пулемета содействовал продвижению стрелковых подразделений. Сам же вновь был ранен. 19 апреля 1945 года награжден орденом Славы 1-й степени.
В 1946 году демобилизован. Жил в деревне Боярка Колыванского района Новосибирской области, где работал пчеловодом, а затем в Новосибирске.
Награжден орденами Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, медалями.
Умер Алексей Алексеевич Цуканов 11 января 1988 года.
В Новосибирске имя полного кавалера ордена Славы Алексея Алексеевича Цуканова увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [13, 96, 142, 288, 330, 424, 481, 602, 614, 699, 932].