Родился 16 июня 1924 года в селе Ясная Поляна ныне Москаленского района Омской области в семье служащего. Русский.
В 1930 году с семьей переселился на рудник Центральный Тисульского района Кемеровской области. По окончании 10 классов работал учителем начальных классов в поселке Кия Тисульского района.
В рядах Красной Армии с 1942 года. Служил в Забайкалье, на границе с Маньчжурией. На станции Мациевская в полковой школе осваивал минометное дело. В боях Великой Отечественной войны с февраля 1944 года. Участвовал в освобождении Нарвы, Эстонии. Затем были Польша, Сандомирский плацдарм, форсирование рек Висла, Одер, Нейсе. Принимал участие в разгроме немцев на Курской дуге, во взятии городов Оппельн, Бреслау, Нейсе, Глогау, Кенигсберг. Был тяжело ранен.
В ходе боевых действий 26–29 апреля 1944 года в 16 км юго-западнее г. Нарва (Эстония) наводчик 82-мм миномета 538-го стрелкового полка (120-я стрелковая дивизия, 8-я армия, Ленинградский фронт) младший сержант Неделько из миномета уничтожил более отделения солдат, накрыл 5 огневых точек противника. 6 мая 1944 года награжден орденом Славы 3-й степени.
Командир минометного расчета того же полка, дивизии (21-я армия, 1-й Украинский фронт) старший сержант Неделько 23–25 января 1945 года в боях за населенный пункт Одерфельде (южнее города Оппельн, Германия, ныне Ополе, Польша) в составе расчета поразил 2 огневые точки и более 30 солдат противника. 28 марта 1945 года награжден орденом Славы 2-й степени.
24 января 1945 года при форсировании реки Одер у населенного пункта Грошовиц (южнее г. Ополе) и 26 марта 1945 года в боях за населенный пункт Билау (3 км южнее города Ныся, Польша) Неделько с расчетом уничтожил большое число солдат и офицеров противника, отразил 15 его контратак, взял в плен несколько гитлеровцев. 27 июня 1945 года награжден орденом Славы 1-й степени.
До 1946 года он продолжал служить в Чехословакии. После демобилизации поступил в Томский педагогический институт на факультет иностранных языков, окончив который в 1950 году стал учителем немецкого языка в Кожевниковской средней школе Томской области. В 1952 году приглашен на военную службу. Как полному кавалеру ордена Славы ему присвоили звание лейтенанта и направили переводчиком немецкого языка в Военный трибунал 1-й гвардейской танковой армии в составе Группы советских войск в Германии. Уволился после четырех лет службы.
С 1965 года вернулся работать в школу и работал учителем немецкого языка в средней школе № 1 рабочего поселка Ордынское Новосибирской области (ныне – Ордынская средняя общеобразовательная школа № 1 имени Героя Советского Союза А.Д. Гаранина). Член КПСС с 1972 года.
В 1986 году Федор Никитович вышел на пенсию, но не оставил общественной работы.
Он – член областного Комитета ветеранов войны и военной службы, член районного совета ветеранов, много времени отдает военно-патриотической работе в Ордынском районе и в области. Участник юбилейных Парадов Победы в Москве в 1975 и 1996 годах.
Награжденорденом Отечественной войны 1-й степени, многими медалями.
В 2004 году Федор Николаевич Неделько был удостоен высшей награды Новосибирской области – знака отличия «За заслуги перед Новосибирской областью». Его подвиги широко представлены в Музее боевой славы Ордынской средней школы № 1. Имя полного кавалера ордена Славы увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы в Новосибирске, а также в Ордынском мемориальном парке героев-земляков.
В настоящее время проживает в рабочем поселке Ордынское [288, 401, 403, 431, 602, 614, 706, 932].