Родился 28 марта 1911 года в городе Смоленске. Русский.
В 1928 году окончил школу при педагогическом факультете Смоленского государственного университета и в том же году поступил на геологический факультет Московского государственного университета. В 1930 году он перешел в Московский геолого-разведочный институт и продолжил обучение, одновременно работал в горно-геологическом отделе Научного института по удобрениям.
С 1936 года – сотрудник Геологического института Академии наук СССР. В 1937 году А.Л. Яншину была присуждена без защиты диссертации ученая степень кандидата геолого-минералогических наук. В 1938 году становится редактором геологического отдела Малой советской энциклопедии.
В 1941 году А.Л. Яншин в составе дивизии народного ополчения ушел добровольцем на фронт, но вскоре был отозван для поиска полезных ископаемых. В годы войны занимался оценкой месторождений различных полезных ископаемых, поисками артезианских вод.
Будучи членом Верховного Совета СССР подготовил теоретически обоснованные возражения, повлиявшие на решения по реализации многих экологически спорных проектов индустриализации и преобразования природы.
В 1993 году избран президентом Российской экологической академии.
Награжден тремя орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, тремя орденами Трудового Красного Знамени, орденами «Знак Почета», «За заслуги перед Отечеством» 3-й степени, «Трудовой Славы» Монголии. Также 
серебряной медалью имени Бубнова Германского общества геологических наук, золотой медалью академика Карпинского. Лауреат двух Государственных премий (1969, 1978). Иностранный член Академий наук Монголии, ГДР, геологических обществ Франции, Болгарии и других стран.
серебряной медалью имени Бубнова Германского общества геологических наук, золотой медалью академика Карпинского. Лауреат двух Государственных премий (1969, 1978). Иностранный член Академий наук Монголии, ГДР, геологических обществ Франции, Болгарии и других стран.
Скончался Александр Леонидович Яншин 9 октября 1999 года. Похоронен на Введенском кладбище города Москвы.
В честь Героя Социалистического Труда академика Александра Леонидовича Яншина проводятся «Яншинские чтения»; на здании Института литосферы окраинных и внутренних морей РАН в Москве и Объединенного института геологии, геофизики и минералогии Сибирского отделения Российской академии наук в Новосибирске установлены мемориальные доски [5, 27, 79, 247, 481, 787, 851, 968, 1002, 1126].