Родился 9 апреля 1914 года в городе Вышний Волочок Тверской губернии в семье сельского фельдшера.
В 1937 году с отличием окончил Ленинградский госуниверситет. Будучи студентом с 1936 года участвовал в геолого-съемочных работах в Средней Азии, проводимых ЦНИГРИ, ЛГИ и ЛГУ. В 1937–1941 годах – ассистент на кафедре палеонтологии.
Перед войной – руководитель экспедиционной группы, обследовавшей район Центральной Азии – провинция Синьцзян (Китай). В 1941–1943 годах изучал крупнейшие депрессии (Таримскую, Турфанскую и Джунгарскую) в Тянь-Шане. В 1943 году – начальник геологической партии Особой экспедиции Всесоюзного нефтяного НИИ – проводил региональные общегеологические работы, геологическое картирование с уклоном в нефтяную геологию. Нефтяной тематикой занимался до 1960 года. С 1945 года преподавал в ЛГУ, работал во ВНИГРИ.
В 1947 году защитил кандидатскую диссертацию, в 1955 году – докторскую.
В 1958 году Б.С. Соколов был избран членом-корреспондентом АН СССР и переехал в Новосибирск. Здесь он возглавил Отдел палеонтологии и стратиграфии в Институте геологии и геофизики СО АН, и этот отдел вскоре стал одним из ведущих мировых центров палеонтолого-стратиграфических исследований в огромном возрастном диапазоне от рифея до кватера. В 1968 году избран действительным членом Академии наук СССР.
Главные научные интересы были сосредоточены в двух направлениях. Во-первых, была разработана новая классификация древних кораллов и издан соответствующий том «Основ палеонтологии», удостоенный Ленинской премии в 1967 году. Во-вторых, он открыл новый древний комплекс отложений, который обосновал как новую крупную стратиграфическую систему конца докембрийского времени, названную им вендской по имени древних славян, обитавших к югу от Балтийского моря. Это открытие сейчас признано во всем мире, вошло во все учебники и схемы геохронологических подразделений.
С 1974 года на работе в Москве. В 1976 году организовал лабораторию палеонтологии докембрия в Палеонтологическом институте Академии наук.
В 1974 году избран президентом Всесоюзного (ныне Всероссийского) палеонтологического общества. С 1980 по 1984 год был президентом Международной палеонтологической ассоциации. С 1990 года – Советник Президента Академии наук.
В 1984 году академику Борису Сергеевичу Соколову присвоено звание Героя Социалистического Труда.
Награжден тремя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, орденом «Знак Почета», многими медалями. В 1967 году присуждена Ленинская премия, в 1979 году – высшая академическая награда в области наук о Земле – золотая медаль имени А.П. Карпинского, а в 1992 – премия Карпинского-Швейцера Гамбургского фонда и медаль Карла фон Бэра за геологические исследования. В 1997 году он был удостоен высшей награды Российской Академии наук – Большой золотой медали имени М.В. Ломоносова. В 2003 году стал одним из первых лауреатов престижной научной премии «Триумф».
Автор более 400 научных работ (в том числе 10 книг), посвященных различным аспектам геологии, палеонтологии, стратиграфии и общей эволюции биосферы. Под руководством Б.С. Соколова вырос не один десяток видных ученых, работающих как в России, так и за ее пределами.
Он является членом или почетным членом геологических обществ США и ряда стран Западной Европы [481, 857, 968, 1002, 1050].