Родился 19 ноября 1900 года в Казани в семье профессора Казанского университета. Русский.
В 1910–1911 годы вместе с отцом находился в Геттингене (Германия), где ходил в школу. Среднее образование получил в Казанском коммерческом училище, после его окончания поступил в Казанский университет (1918). Преподавал в Казанском университете, работал лаборантом Механического кабинета.
В 1921 году вместе с семьей переехал в Москву и перевелся на физико-математический факультет МГУ. Еще студентом в 1921 году Лаврентьев начал преподавать в Московском высшем техническом училище (ныне МГТУ им. Н.Э. Баумана), продолжал преподавание до 1929 года.
После окончания физико-математического факультета Московского государственного университета в 1922 году работал в Центральном аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ).
В 1927-м защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук и был командирован на полгода во Францию для научного совершенствования. По возвращении в Москву (конец 1927 г.) избран приват-доцентом МГУ и членом Московского математического общества. Начал читать в МГУ курс по теории конформных отображений (преобразований пространства, сохраняющих величину углов).
Он известен как крупный исследователь в различных областях наук: математике, механике. Ученые степени доктора технических наук (1934) и доктора физико-математических наук (1935) были присвоены М. Лаврентьеву без защиты диссертаций. Он миновал и степень члена-корреспондента – его сразу избрали действительным членом Академии наук УССР (1939) и Академии наук СССР (1946).
В 1931–1939 годах М.А. Лаврентьев преподавал в Московском государственном университете. В 1931-м стал профессором МГУ. С 1934 по 1939 год работал в Математическом институте АН СССР им. В.А. Стеклова.
Работы М.А. Лаврентьева в 30–40-х годах были связаны с развитием теории функций.
М.А. Лаврентьев доказал теорему существования решений уравнений Навье-Стокса в гидромеханике.
В 1939 году избран директором Математического института АН УССР, переехал в Киев.
Здесь он занимался теорией функций комплексного переменного и ее приложениями. На Украине были начаты и исследования Лаврентьева, связанные с механикой взрыва, была создана научная школа. Преподавал в Киевском университете, профессор (1939–1941 и 1945–1949), с 1941 по 1945 год – заведующий Математическим отделением АН УССР.
В годы Великой Отечественной войны вместе с АН УССР Лаврентьев был эвакуирован в Уфу. Продолжил исследования в области взрывов. Успешно решил ряд военно-инженерных задач, участвовал в создании отечественного кумулятивного снаряда. При исследовании особенностей кумуляции было обнаружено явление сварки металлов взрывом, получившее широкое применение в дальнейшем. В феврале 1945 года возвратился из эвакуации в Киев, стал вице-президентом АН УССР. На этом посту пробыл до 1948 года.
С 1951 по 1953 год был академиком-секретарем Отделения физико-математических наук АН СССР. За исследования в области теории функций комплексного переменного и создание теории квазиконформных отображений ему была присуждена Сталинская (Государственная) премия. В 1949 году удостоен второй Сталинской премии за созданную им теорию кумулятивных струй.
С 1948 года снова работает в МГУ. В этот период на базе МГУ создается новое высшее учебное заведение – Московский физико-технический институт (МФТИ). В этом институте Лаврентьев основал специализацию по теории взрывов, заведовал кафедрой физики быстропротекающих процессов (1955–1958).
М.А. Лаврентьев одним из первых осознал значение вычислительной техники и стоял у истоков первых отечественных ЭВМ. В начале 1950 года он был назначен директором Института точной механики и вычислительной техники АН СССР (ИТМ и ВТ), перед которым поставили задачу создания быстродействующей электронной счетной машины (БЭСМ).
В 1953 году М.А. Лаврентьев был избран вице-президентом Академии наук СССР.
В 1955-м избран в члены Президиума АН СССР, с 1955 по 1957 вновь – академик-секретарь Отделения физико-математических наук АН СССР.
Был заместителем главного конструктора Министерства среднего машиностроения. В 1958 году одним из первых получил Ленинскую премию (по специальной тематике).
В 1957 году М.А. Лаврентьев стал организатором Сибирского отделения АН СССР. Новосибирский академгородок – уникальный проект академика Лаврентьева, который сумел собрать прекрасные умы во всех научных областях. Благодаря этому начинанию в Академгородке сложились сильные научные школы практически по всем направлениям. Возглавлял Сибирское отделение Академии наук СССР до 1975 года (затем был Почетным председателем).
При активном участии Лаврентьева создавался и Новосибирский государственный университет. Профессор университета в 1959–1966 годах. В январе 1963 года по инициативе М.А. Лаврентьева при Новосибирском университете была создана физико-математическая школа-интернат.
Известны 530 трудов М.А. Лаврентьева (научные и публицистические статьи, обзоры, рецензии, монографии, учебники, очерки воспоминаний и т.п.). Многие из его учеников стали выдающимися учеными. Исследовал динамику облака ядерного взрыва, развил теорию автомодельного движения турбулентных вихревых колец. Построил новые модели отрывного обтекания тел с кормовой циркуляционной зоной. Его интересовали также и другие задачи: волны на воде и гашение их дождем; возникновение и развитие гигантских морских волн (цунами), борьба с лесными пожарами, предотвращение загрязнения рек, экология строительства, достоинства различных электронно-вычислительных систем, организация научных исследований, методика преподавания в высшей и средней школе и т.д.
Работы М.А. Лаврентьева на десятилетия определили ход мировой науки в области математики и механики. Его усилиями советская математическая школа была представлена в мире, начиная с участия в Международном математическом конгрессе в Болонье (1928). В 1966–1970 годах академик Лаврентьев был Президентом Международного математического союза. Являлся председателем Совета по науке при Совете Министров СССР. Академик М. Лаврентьев был избран членом восьми зарубежных академий.
На XXII – XXIV съездах партии избирался кандидатом в член ЦК КПСС. Депутат Верховного Совета СССР 5–8-го созывов.
За выдающиеся заслуги в развитии науки и организации Сибирского отделения АН СССР в 1967 году академик М. Лаврентьев удостоен звания Героя Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственных премий. Он награжден пятью орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, четырьмя орденами Трудового Красного Знамени, орденом Отечественной войны, золотой медалью им. М.В. Ломоносова, многими орденами и медалями других государств.
С 1976-го снова работал в Москве. В 1976–1980 годах – Председатель Национального комитета СССР по теоретической и прикладной математике.
Умер Михаил Алексеевич Лаврентьев 15 октября 1980 года. Похоронен в Новосибирске.
Он Почетный гражданин города Новосибирска. В 2000 году удостоен звания «Гражданин XX века Новосибирской области».
В Новосибирском академгородке именем академика М.А. Лаврентьева назван центральный проспект, установлен бронзовый бюст. Его именем названы Институт гидродинамики СО РАН, Специализированный учебно-научный центр при НГУ (бывшая Физико-математическая школа), аудитория НГУ, лицей № 130.
Имя Лаврентьева носят улицы в городах Казани и Долгопрудном (Московская область), горные пики на Памире и Алтае, научно-исследовательское судно Дальневосточного отделения РАН.
Учреждены: именная золотая медаль (с 1992 года премия им. М.А. Лаврентьева) РАН; премия им. М.А. Лаврентьева Академии наук Украины; Фонд им. М.А. Лаврентьева и премия в Новосибирске, а также премия для молодых ученых СО РАН, премии и стипендии для студентов МГУ, НГУ, МФТИ. Проводятся конференции «Лаврентьевские чтения» в Новосибирске и Якутске.
На здании института гидродинамики в честь М.А.Лаврентьева установлена мемориальная доска. Международным центром по малым планетам присвоено название Лаврентина планете № 7322 в честь академиков Михаила Алексеевича и Михаила Михайловича Лаврентьевых [86, 265, 358, 481, 753, 946, 968, 983].