Родился 20 ноября 1910 года в деревне Леушино ныне Стерлитамакского района Башкирии в крестьянской семье.
Русский. В 8 лет остался круглым сиротой. Воспитывался у родственников и в детских домах.
После окончания Свердловского горно-металлургического техникума в 1932 году был направлен на работу техником-исследователем в Северный институт цветных металлов в городе Свердловске. В 1933 году экстерном сдал экзамены за третий курс Уральского политехнического института, по окончании которого получил назначение на Пышминский меде-электродный завод, где с 1935 года прошел трудовой путь от мастера до директора завода.
С августа 1941 года по апрель 1942 года по ложному обвинению находился в Вятских лагерях НКВД СССР в Кировской области.
Выйдя из лагеря, с 1942 по 1946 годы работал на предприятиях Свердловска и Первоуральска Свердловской области.
После организации в августе 1945 года Первого Главного управления (ПГУ) при Совете Народных Комиссаров – Совете Министров СССР, с 1946 по 1951 годы А.Н. Каллистов – директор завода № 12 в городе Электросталь Московской области (ныне – ОАО «Машиностроительный завод»), где было организовано первое в СССР производство чистого металлического урана и изготовление из него изделий (урановых блоков) для их загрузки в промышленный ядерный реактор для наработки плутония. Возглавив предприятие, А.Н. Каллистов провел комплекс работ, связанных с реконструкцией завода и организацией производства урановых блоков.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 октября 1949 года «О присвоении звания Героя Социалистического Труда научным, инженерно-техническим и руководящим работникам научно-исследовательских, конструкторских организаций и промышленных предприятий» (с грифом: «Не подлежит опубликованию») «за исключительные заслуги перед государством при выполнении специального задания» Каллистову Анатолию Назаровичу присвоено звание Героя Социалистического Труда.
С 1951 года А.Н. Каллистов работал в Новосибирске директором завода № 250 – «почтовый ящик № 80» (ныне – ОАО «Новосибирский завод химконцентратов»).
В годы его работы был осуществлен промышленный пуск уранового производства – от переработки рудного концентрата до выпуска готовых твэлов для промышленных реакторов, а затем завод вышел на проектную мощность.
За пять лет при директоре Каллистове А.Н. начато строительство литиевого производства, построен жилищный комплекс с учебными заведениями, предприятиями бытового обслуживания, строился Дом культуры имени Горького, начата подготовка новых кадров для создания литиевого производства.
С 1956 по 1959 год А.Н. Каллистов – вновь директор Электростальского завода (в то время предприятие п/я 3). В эти годы здесь наращиваются объемы выпуска стандартной продукции (урановых блочков) и развертывается производство лития-6, необходимого для термоядерного оружия. В этот же период осваивается технология производства ядерного топлива (активных зон) для подводного флота ВМФ.
В 1959 году избран председателем Центрального комитета профсоюза работников среднего машиностроения. На этом посту он проработал до 1986 года, вплоть до ухода на пенсию.
Награжден орденами Красного Знамени, Трудового Красного Знамени, «Знак Почета».
Лауреат Сталинской премии (1949 год).
Один из участников разработки первой советской атомной бомбы и создателей элементов «ядерного щита» СССР, инженер-металлург А.Н. Каллистов скончался 22 июля 2001 года.
Похоронен в Москве на Новокунцевском кладбище.
В память о Герое Социалистического Труда А.Н. Каллистове в Москве проводится традиционный турнир по городошному спорту РФ СО «Атом-спорт» [481, 787, 1095, 1102, 1197].