Родился 22 июня 1923 года в селе Быково ныне Новосибирского района Новосибирской области в крестьянской семье.
Русский. Окончил девять классов средней школы.
В 1941 году призван в ряды Красной Армии. В 1942 году с отличием окончил Новосибирскую военно-авиационную школу пилотов авиации дальнего действия. В боях Великой Отечественной войны с августа 1943 года. Ф.П. Головашко попал в авиацию дальнего действия. В составе 2-го гвардейского Смоленско-Будапештского полка АДД сражался до конца войны. Последние пять боевых вылетов совершил на Берлин.
После окончания Великой Отечественной войны продолжал службу в Военно-Воздушных Силах, командовал эскадрильей. Член КПСС с 1951 года.
В 1952 году Ф.П. Головашко попал в авиационный полк смешанного состава, который был привлечен к исследовательским работам по совершенствованию атомной и водородной бомб. Полк был организован на базе 35-го бомбардировочного и 513-го истребительного полков, а дислоцировался в пустынной части Крымского полуострова.
Служил летчиком-испытателем на самолетах-носителях Ту-4 и Ту-16.
В ноябре 1955 года начались испытания термоядерной бомбы РДС-37. Для окончательной проверки всех расчетных данных, проверки работы парашютной системы и автоматики изделия на траектории падения, тренировки и проверки взаимодействия со службами полигона были запланированы и проведены два сброса с самолетов-носителей Ту-16 изделий в комплектации, соответствующей РДС-37, с зарядом без делящихся материалов. В целях контроля работы автоматики на траектории падения изделия были укомплектованы аппаратурой телеметрии.
Второй контрольный вылет по испытанию термоядерной бомбы РДС-37 выполнен 19 ноября 1955 года экипажем Ф.П. Головашко. Взлет был произведен в 9 часов 30 минут с аэродрома Жана-Семей. Самолет набрал заданную высоту 12 тысяч метров, и к моменту выполнения холостого захода на цель, вопреки прогнозам метеослужбы полигона погода испортилась и полигон закрыло облачностью.
По запросу экипажа самолету-носителю был разрешен холостой заход на цель с использованием радиолокационной установки самолета. При выполнении холостого захода экипаж доложил об отказе радиолокационного прицела и отсутствии возможности выполнять задание по прицельному сбрасыванию изделия.
Было принято решение о вынужденной посадке самолета-носителя с термоядерной бомбой. По уточнению метеоусловий в районе Семипалатинска была передана команда командиру экипажа и на командный пункт аэродрома о вынужденной посадке с соблюдением крайней осторожности – условия посадки осложнялись ухудшением видимости из-за песчаной бури.
Головашко Федор Павлович впервые в нашей стране осуществил вынужденную посадку самолета-носителя Ту-16 с термоядерной бомбой на борту. Большая физическая, моральная и нервная нагрузка в этом полете сказались в последующем на его здоровье.
Выполнение повторного полета было поручено тому же экипажу Ф.П. Головашко. 22 ноября 1955 года сброс изделия по заданной цели произведен в 9 часов 47 минут с высоты 12 тысяч метров и скорости полета 870 км/ч с использованием радиолокационных средств самолета-носителя. Результаты этого испытания по своим последствиям были столь значительными, что существенно повлияли как на разработку ядерного оружия, так и организацию последующих испытаний.
Ф.П. Головашко лично участвовал более чем в пятнадцати воздушных ядерных испытаниях.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 11 сентября 1956 года за мужество и героизм, проявленные при проведении воздушных ядерных испытаний, ведущему летчику самолета-носителя ТУ-16 майору Федору Павловичу Головашко присвоено звание Героя Советского Союза.
Награжден орденами Ленина, Отечественной войны 1-й степени, двумя орденами Красного Знамени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.
С 1961 года полковник Ф.П. Головашко – в запасе. Жил в Одессе, работал старшим инженером в объединении «Черноморремстрой».
Скончался Федор Петрович 7 октября 1980 года.
Имя Героя Советского Союза Федора Павловича Головашко увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы в Новосибирске [240, 356, 438, 481, 732, 734, 787, 943, 1104].