Родился 23 февраля 1900 года в селе Червоная Гусаровка ныне Балаклейского района Харьковской области Украины в крестьянской семье. Украинец.
В семилетнем возрасте остался сиротой, однако окончил церковно-приходскую школу. Работал шахтером в городе Красный Луч ныне Луганской области Украины.
В Красной Армии с 1918 года. Служил командиром роты Красной кавалерии. Участник гражданской войны. Член ВКП(б)/КПСС с 1924 года. В 1927 году окончил пехотную школу, в 1936 году – Военную академию имени М.В. Фрунзе.
В годы Великой Отечественной войны находился на командных и штабных должностях на Дальнем Востоке. С 9 июля 1941 года по 9 января 1942 года – командир 59-й стрелковой дивизии (59-й стрелковый корпус, 1-я армия, Дальневосточный фронт), затем – командир 26-го стрелкового корпуса.
Постановлением Совета Народных Комиссаров Союза ССР от 8 декабря 1941 года полковнику А.Р. Гнечко присвоено воинское звание «генерал-майор».
С ноября 1944 года генерал-майор А.Р. Гнечко – командующий Камчатским оборонительным районом Дальневосточного фронта.
Во время советско-японской войны, с 9 августа по 3 сентября 1945 года, возглавлял подготовку и проведение Курильской десантной операции.
Командующий Камчатским оборонительным районом 2-го Дальневосточного фронта генерал-майор А.Р. Гнечко особо отличился в период с 16 по 31 августа 1945 года.
15 августа 1945 года он в 7 час. 40 мин. получил приказ Высшего совета 2-го Дальневосточного фронта: используя благоприятную обстановку, занять северную группу Курильских островов силами двух стрелковых полков 101-й стрелковой дивизии, кораблей и плавсредств торгфлота и Петропавловской военно-морской базы, погранвойск и 128-й авиадивизии. В соответствии с этим приказом штабом Камчатского оборонительного района был разработан план операции. Вверенные ему войска в неблагоприятных погодных условиях, при превосходящих силах японских войск умело осуществили десантную операцию по захвату сильно укрепленных островов северной части Курильской гряды и вынудили противника капитулировать.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 8 сентября 1945 года за умелое командование оборонительным районом, образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с японскими милитаристами и проявленные при этом мужество и героизм Гнечко Алексею Романовичу присвоено звание Героя Советского Союза.
После войны А.Р. Гнечко продолжал службу в армии. В 1951 году он окончил Высшие академические курсы при Военной академии Генерального штаба. Командовал стрелковым корпусом, был заместителем командующего войсками Сибирского военного округа (Новосибирск).
С 1959 года генерал-лейтенант Гнечко А.Р. – в отставке. Жил и работал в Москве.
Награжден двумя орденами Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Красной Звезды, многими медалями.
Скончался 7 апреля 1980 года. Урна с прахом Героя-военачальника покоится в колумбарии Донского 1-го крематория в Москве [82, 178, 220, 521, 634, 787, 943, 976, 1003, 1115, 1116].