Родился 23 апреля 1907 года в селе Шешелеты Гальского района Сухумского округа (ныне Абхазия).
В 1930 году окончил Тбилисский университет, в 1933 году – аспирантуру АН СССР в Ленинграде. Работал в Тбилисском (1933–1952) и Московском (1952–1954) университетах, в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР (1955–1958).
Член-корреспондент (1946), академик АН СССР (1958), лауреат Государственной (1950) и Ленинской премии СССР (1963).
Специалист в области математической физики уравнений эллиптического типа и одномерных сингулярных интегральных уравнений. Принимал непосредственное участие в разработке проекта создания Сибирского отделения Академии наук СССР (1957). В Новосибирск ученый переехал в 1958 году. Здесь он возглавил основанный им теоретический отдел в Институте гидродинамики.
С апреля 1959 по 1964 год руководил Новосибирским государственным университетом. Он сформулировал и воплотил основные направления организации учебного процесса в НГУ, которые позволили университету встать в один ряд с мировыми центрами по подготовке высококвалифицированных научных кадров.
В 1964 году Илья Векуа был отозван Академией наук Грузинской ССР и стал ее вице-президентом, а с 1972-го – президентом. Кроме того, он с 1966 по 1972 год являлся ректором Тбилисского государственного университета.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 марта 1969 года И.Н. Векуа присвоено звание Героя Социалистического Труда за выдающиеся заслуги в развитии науки.
Награжден пятью орденами Ленина, орденом «Знак Почета», многими медалями. Депутат Верховного Совета СССР 7-го и 8-го созывов. Был членом ЦК КПСС Грузии.
Заслуженный деятель науки ГССР (1950). Автор многочисленных научных работ, в том числе монографий.
Член Генеральной ассамблеи международного союза по теоретической и прикладной механике. Иностранный член Академии наук ГДР (Берлин, 1958), Германской академии естествоиспытателей «Леопольдина» (Галле, 1968), Академии наук, литературы и искусства в Палермо (Академия наук Сицилии), Польского общества теоретической и прикладной механики (1969), Датского центра прикладной математики и механики и других научных обществ. Почетный доктор Университета им. М. Лютера (ГДР, 1977), Иенского университета им. Ф. Шиллера (ГДР, 1969).
Скончался 2 декабря 1977 года в Тбилиси (похоронен на горе Мтацминда).
В честь Героя Социалистического Труда И.Н. Векуа на здании Новосибирского государственного университета установлена мемориальная доска. К 100-летию И.Н. Векуа в Новосибирском государственном университете проведена международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения».
Его имя присвоено НИИ прикладной математики Тбилисского университета и Сухумскому физико-техническому институту. Учреждены премии имени И.Н. Векуа в Академии наук Грузии и для молодых ученых Сибирского отделения РАН [27, 62, 247, 732, 952, 1139].