Родился в 1904 году в селе Дурасовка (ныне село Вязовка) Терновского района Пензенской области в семье крестьянина. Русский.
Окончив в 1930 году Ульяновскую пехотную школу, стал профессиональным военным. Член ВКП(б).
Командуя танковым подразделением, в 1939 году участвовал в боях с японскими милитаристами на реке Халхин-Гол. Здесь он получил свою первую награду – орден Ленина.
Перед Великой Отечественной войной служил в штабе Сибирского военного округа в Новосибирске.
Война застала Н.М. Бубнова вблизи Одессы, где он был помощником командира полка.
В боях с гитлеровцами командовал танковым полком, затем танковой бригадой. Участвовал в Сталинградском сражении, в Орловско-Курской битве.
В мае 1942 года смелого офицера, умелого организатора боевых действий назначили командиром 133-й танковой бригады (под командованием Бубнова 8 декабря 1942 года переформирована в 11-ю гвардейскую танковую бригаду). О подвигах воинов, которых вел на врага Н.М. Бубнов, писали газеты «Правда» и «Красная Звезда», фронтовая печать. А сами отважные танкисты называли себя бубновцами.
11-я отдельная танковая бригада показала высокие морально-боевые качества в сражениях на дальних и ближних подступах к Сталинграду. Новыми подвигами прославили танкисты свое боевое знамя в Орловско-Курской битве.
Выстояв в оборонительных боях, войска Советской Армии, сражавшиеся на Курской дуге, перешли в наступление. Ломая упорное сопротивление противника, шла в составе 2-й танковой армии 11-я отдельная танковая бригада. Самый ожесточенный бой разгорелся 2 августа 1943 года на направлении Ржава – Бельдяжки. В этом бою фашисты потеряли 32 танка, 9 самоходных артиллерийских установок, 95 минометов, 116 пулеметов и свыше двух тысяч солдат и офицеров. Это была одна из крупных побед, одержанных бригадой под началом гвардии полковника Бубнова. Но в этом бою Бубнов пал смертью храбрых. Похоронен в городе Курске.
С мая 1942 года по 2 августа 1943 года танковая бригада под командованием гвардии полковника Н.М. Бубнова уничтожила 548 танков, 449 орудий, 148 минометов, 277 пулеметов, 163 автомашины, подбила 11 самолетов, разрушила 139 дзотов, истребила более 12 тысяч солдат и офицеров противника.
Звание Героя Советского Союза присвоено Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 ноября 1943 года (посмертно).
Награжден орденами Ленина, Красной Звезды, двумя орденами Красного Знамени [240, 307, 553, 998, 1082].