Родился в 1922 году в деревне Ширкуны ныне Даровского района Кировской области в семье крестьянина. Русский.
Образование среднее. Работал в колхозе. В июне 1941 года был призван в Красную Армию. С этого же времени на фронте. Сражался на Юго-Западном, Сталинградском и Воронежском фронтах, дважды был ранен. В 1943 году вступил в ВКП(б)/КПСС.
Командир минометного расчета старший сержант Одегов особо отличился в наступательных боях летом 1943 года и при форсировании реки Днепр.
15 августа 1943 года в бою за село Великий Бобрик (Краснопольский район Сумской области) расчет Одегова уничтожил орудие, 2 ручных пулемета и до 50 гитлеровцев, чем обеспечил пехоте продвижение вперед. 3 сентября в районе села Низы (ныне поселок Сумского района) переправил расчет с минометом через реку Псел и прикрыл переправу своего дивизиона. 4 октября в районе села Сваромье (Вышгородский район Киевской области) в числе первых преодолел Днепр.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 9 февраля 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко- фашистскими захватчиками старшему сержанту Одегову Леониду Яковлевичу присвоено звание Героя Советского Союза.
После госпиталя был направлен на учебу в военное училище. В 1944 году окончил Ульяновское артиллерийской училище.
После Победы получил назначение в Группу советских войск в Германии. За образцовое исполнение служебных обязанностей имел от командования несколько благодарностей и премию – мотоцикл. Полученные на фронте раны не дали продолжить службу. В 1953 году лейтенант Одегов был уволен в запас по инвалидности.
Вернулся на родину, в Кировскую область. Одно время заведовал Поцелуевским сельским клубом, затем работал на Даровском льнозаводе. Позднее переехал в Сибирь.
Жил в городе Искитиме Новосибирской области, работал в стройуправлении. Награжден орденом Ленина, медалями.
Скончался Одегов Л.Я. 29 июня 1974 года. Похоронен на кладбище г. Искитима.
Бюст Героя Советского Союза Одегова Леонида Яковлевича установлен в г. Искитиме перед Краеведческим музеем. В Новосибирске его имя увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [179, 240, 300, 420, 787].