Родился 26 марта 1920 года в селе Янычи Пермского района Пермской области в семье крестьянина. Русский.
Окончил 7 классов и ФЗО. Работал слесарем в Перми.
В рядах Красной Армии с 1939 года. В том же году окончил Пермскую военно-авиационную школу, в 1940 году – Энгельсское военное авиационное училище.
На фронтах Великой Отечественной войны с 22 июня 1941 года. За годы войны прошел путь от рядового летчика до командира эскадрильи 207-го Ясского отдельного корректировочно-разведывательного авиационного полка. Участвовал в боях под Сталинградом, Киевом и Харьковом, в Орловско-Курской, Корсунь-Шевченковской и Ясской операциях.
Каждый вылет на визуальную и фотографическую разведку и корректировку огня связан с опасностью встретиться с истребителями противника, попасть под его зенитный огонь.
Так, в боях за Харьков Чесноков вступил в бой с пятеркой вражеских «фокке-вульфов». Он пошел лоб в лоб на один из истребителей и сбил его пушечным огнем. Используя минутное замешательство врагов, теперь уже сам атаковал их, оказавшись в хвосте одного из самолетов. И вот уже второй «фокке-вульф», объятый пламенем и дымом, полетел вниз. И третий вражеский самолет загорелся и рухнул на землю. Его сбил штурман.
Остальные два истребителя атаковали Чеснокова на небольшой высоте, и экипаж почувствовал, как самолет вздрогнул и начал быстро снижаться. Вражеский снаряд пробил фюзеляж, заклинил колпак, разбил киль и руль поворота и рацию. Штурман был ранен. Чеснокову удалось вывести самолет из глубокой спирали всего лишь в нескольких сотнях метров от земли и довести его на захлебывающемся моторе до своего аэродрома. Летчики-герои выполнили боевое задание, победили в неравном бою, сбив три вражеских истребителя.
Командир эскадрильи 207-го отдельного корректировочно-разведывательного авиационного полка (5-я воздушная армия, 2-й Украинский фронт) капитан Чесноков к ноябрю 1944 года совершил 259 боевых вылетов на разведку и фотографирование военных объектов и войск противника. В воздушных боях уничтожил 3 и на земле 2 вражеских самолета.
Звание Героя Советского Союза присвоено Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за подвиг, совершенный в бою при освобождении Харькова.
За годы войны совершил 289 боевых вылетов. Член КПСС с 1953 года.
В 1955 году окончил Военно-воздушную академию.
В 1959 году полковник Чесноков уволился в запас с должности заместителя начальника по боевой подготовке ВВС СибВО.
Более двадцати лет работал в Сибирском научно- исследовательском институте авиации имени С.А. Чаплыгина. С 1961 года работал начальником штаба ГО. Активно занимался ветеранской работой, военно-патриотическим воспитанием подрастающего поколения.
Награжден орденами Ленина, Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Отечественной войны 2-й степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.
Леонид Иванович ушел из жизни 28 июля 1999 года.
4 мая 2005 года на доме № 71 по проспекту Дзержинского в Новосибирске установлена мемориальная доска в память о Герое Советского Союза Леониде Ивановиче Чеснокове. Его имя увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [179, 240, 260, 416, 516, 675, 772, 943].