Родился 30 марта 1914 года на станции Голышманово Омской железной дороги, ныне поселок Тюменской области, в семье служащего. Русский.В 1916 остался без отца, мать с детьми переехала в село Лягушье ныне Купинского района Новосибирской области.
В 1929 году окончил школу крестьянской молодежи и работал заведующим начальной школой. В 1933–1940 годах был инспектором Купинского районо, директором школы в селе Лягушье. Учился заочно в Томском педагогическом институте.
В мае 1940 года был призван в Красную Армию. Весной 1941 года направлен в Минское военно-политическое училище. Но учиться пришлось недолго, началась Великая Отечественная война. Вместе с училищем курсант Бельский отходил на восток.
В августе 1941 года после досрочного выпуска из училища младший политрук Бельский был назначен в 160-ю стрелковую дивизию комиссаром отдельной зенитной батареи, а затем комиссаром стрелкового батальона. Начал боевой путь под Москвой.
В конце февраля 1943 года в бою на станции Ковячи, западнее города Харькова, был тяжело ранен и эвакуирован в глубокий тыл. Полгода с лишним пролежал в госпитале. После выздоровления в штабе округа получил направление на учебу на курсы командиров батальона.
Его штурмовой батальон первым врывался в захваченные врагом города, разминировал минные поля и уничтожал немецкие доты и дзоты. Участвовал в освобождении Белоруссии и Украины, в Ясско-Кишиневской операции, взятии Берлина.
Так, во время боев за освобождение Кишинева батальон под его командованием первым прорвался к центру города и вечером 23 августа 1944 года водрузил красное знамя на руинах здания на перекрестке улиц Ленина и Гоголя (сейчас Штефана чел Маре и метрополита Бэнулеску-Бодони).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 февраля 1945 года командиру 1-го штурмового батальона 273-го гвардейского стрелкового полка (89-я гвардейская стрелковая дивизия, 5-я ударная армия, 1-й Белорусский фронт), гвардии майору Бельскому Алексею Ильичу за прорыв глубокоэшелонированной немецкой обороны, во время Висло-Одерской операции присвоено звание Героя Советского Союза.
В ходе штурма Берлина гвардии майор Герой Советского Союза Алексей Бельский придумал ход, который вошел затем во все учебники по военному искусству. Со своими бойцами, вооруженными дымовыми шашками, автоматами и минометами, двинулись они по крышам Фридрихштрассе, перепрыгивая с кровли на кровлю, и все 15 км пути методично подавляли плюющиеся свинцом гнезда, а также создавали дымовую завесу, под покровом которой в город вошли артиллерия и танки. Это был тот самый уникальный случай, когда их опередила и прикрыла пехота.
До 1950 года Алексей Ильич служил в Германии, был комендантом городов Шверин и Вардемюнде. 
Потом его отправили служить в Западную Украину. В 1963 году Бельский в звании гвардии полковника вышел в запас, и семья переехала в Кишинев.
Потом его отправили служить в Западную Украину. В 1963 году Бельский в звании гвардии полковника вышел в запас, и семья переехала в Кишинев.В 1970 году Герой Советского Союза Алексей Ильич Бельский скончался. Чтобы увековечить его память, строившейся улице в Кишиневе на Ботанике дали имя Бельского.
Он – почетный гражданин городов Кишинева и Оргеева. В Купинском районе, на родине Героя Советского Союза Бельского Алексея Ильича, установлен его бюст в Лягушенской школе, его именем названы улицы в Купино и селе Лягушье, школа.
На Центральном кладбище Кишинева Герою Советского Союза Алексею Ильичу Бельскому установлен памятник.
Мемориальная доска в честь батальона Бельского на здании в Кишиневе, где он водрузил знамя Победы, на перекрестке современных улиц Штефана чел Мааре и метрополита Бэнулеску-Бодони. В Новосибирске имя Героя Советского Союза Алексея Ильича Бельского увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [81, 178, 240, 302, 415, 751, 787, 868, 900, 974, 1084].