Родился 1 сентября 1910 года в селе Рассказово ныне Карасукского района Новосибирской области в семье крестьянина. Русский.
В 1928 году окончил семь классов неполной средней школы. Работал весовщиком в «Заготзерне» на железнодорожной станции Ромодан Миргородского района Полтавской области.
В ряды Красной Армии призван в октябре 1932 года. В 1938 году окончил курсы младших лейтенантов. Участник боев у озера Хасан в 1938 году. Служил в 263-м артиллерийском полку 66-й дивизии 1-й Краснознаменной армии.
В боях Великой Отечественной войны с апреля 1942 года.
Воевал на Сталинградском, 1-м и 2-м Украинских фронтах.
В тяжелом бою под Сталинградом в 1942 году он был ранен. После лечения в госпитале продолжал службу в должности заместителя командира дивизиона артиллерийского полка 299-й стрелковой дивизии. Принимал участие в освобождении Белгорода, Полтавы, Кременчуга. Член ВКП(б)/КПСС с 1944 года.
Со своим полком он принимал участие в боях под Яссами, в развилке Вислоки и Вислы, на Сандомирском плацдарме.
Командир 7-го гвардейского воздушно-десантного артполка (9-я гвардейская воздушно-десантная дивизия, 5-я гвардейская армия, 1-й Украинский фронт) гвардии майор Климовский в боях 12–25 января 1945 года, управляя огнем группы поддержки пехоты, обеспечил прорыв сильно укрепленной обороны противника в районе населенного пункта Стопница (16 км восточнее г. Буско-Здруй, Польша), форсирование Одера 24 января 1945 года, захват и расширение плацдарма на левом берегу у населенного пункта Шургаст (Хрусьцина, 20 км юго-восточнее г. Бжег, Польша). В этих боях полк нанес противнику большой урон.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за мужество и героизм, проявленные при форсировании Одера и удержании плацдарма на его западном берегу, гвардии майору Николаю Афанасьевичу Климовскому присвоено звание Героя Советского Союза.
В 1946 году окончил Высшую офицерскую артиллерийскую школу в Ленинграде, в 1954 году – Высшие курсы при Военной артиллерийской командной академии.
С 1958 года полковник Н.А. Климовский – в запасе. Работал председателем горсовета города Карасука Новосибирской области.
В 1967 году переехал в город Тулу. Работал инженером по технадзору в одном из научно-исследовательских институтов. В 1974 году ушел на пенсию.
Награжден орденом Ленина, тремя орденами Красного Знамени, орденами Александра Невского, Отечественной войны 1-й и 2-й степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.
Даже будучи в преклонном возрасте Николай Афанасьевич вел активную работу с воспитанниками военно-патриотических молодежных общественных объединений.
Умер Николай Афанасьевич Климовский 1 сентября 2008 года.
В Новосибирске имя Героя Советского Союза Николая Афанасьевича Климовского увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [11, 59, 179, 233, 240, 423, 787, 805, 1069].