Родился в 1923 году в семье крестьянина в селе Тропино Калининского сельского Совета ныне Колыванского района Новосибирской области. Русский.
Окончив семь классов, работал в колхозе. С 1937 года вместе с отцом поехал на заработки на Камчатку, затем с 1940 года в Бикинский район Хабаровского края.
В боях Великой Отечественной войны с июля 1942 года.
Боевое крещение получил в битве за Сталинград. После окружения и разгрома группировки фашистских войск часть, в которой служил Александр, была переброшена под Курск, где развернулось вскоре крупнейшее танковое сражение. После завершения битвы на Курской дуге Кузнецов был награжден медалью «За отвагу».
Командир орудия 87-го гвардейского отдельного истребительного противотанкового артиллерийского дивизиона (81-я гвардейская стрелковая дивизия, 7-я гвардейская армия, Степ ной фронт) гвардии старший сержант Александр Кузнецов 25 сентября 1943 года форсировал Днепр и участвовал в захвате плацдарма у хутора Погребня (Верхнеднепровский район Днепропетровской области).
Пытаясь удержать прибрежную полосу, враг непрерывно атаковал. Кузнецов дал команду расчету выкатить пушку и вести огонь прямой наводкой. Гитлеровцы отошли назад, оставив на поле боя десятки трупов и разбитые пулеметы. Еще много раз атаковали враги, но во всех случаях мужество, выдержка и мастерство командира орудия помогали расчету побеждать.
А через несколько дней после форсирования Днепра и боев за плацдарм – 7 октября – фашистские танки и пехота обошли позиции Кузнецова с флангов. Расчету приходилось нелегко. Подбиты 4 «тигра», уничтожено много пехоты. Тяжело ранен Александр, но продолжает командовать расчетом. Когда закончились снаряды, он приказал под прикрытием огня из винтовок выкатить орудие на позицию, недосягаемую для фашистов. Расчет выполнил приказ своего командира и вынес его самого уже без сознания. 25 октября 1943 года гвардии старший сержант Александр Кузнецов скончался в госпитале от ран.
Звания Героя Советского Союза присвоено Александру Николаевичу Кузнецову 26 октября 1943 года (посмертно).
Похоронен на Полтавщине, в селе Хонделовка Кошельского района.
Помнят о Герое земляки, гордятся им. Одной из улиц Колывани присвоено имя Героя Советского Союза Александра Николаевича Кузнецова. В Новосибирске его имя увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [178, 240, 424].