Родился 7 октября 1906 года в деревне Кутьково ныне Московской области, в семье крестьянина. Русский.
Образование начальное. Жил в селе Комарье Доволенского района Новосибирской области. Работал разнорабочим.
В Красной Армии в 1928–1930 годы и с 1932 года. В 1934 году окончил Ленинградское военно-политическое училище. Участник боев на реке Халхин-Гол в 1939 году.
На фронте в Великую Отечественную войну с марта 1943 года. Командир 133-го гвардейского стрелкового полка (44-я гвардейская стрелковая дивизия, 65-я армия, 1-й Белорусский фронт) гвардии подполковник Солодов умело организовал 27 августа 1944 года прорыв обороны противника на подступах к реке Нарев.
5 сентября 1944 года полк форсировал реку на участке Пултуск-Сероцк (Польша), захватил плацдарм, стойко отражал контратаки противника.
Звание Героя Советского Союза присвоено Афанасию Владимировичу Солодову 24 марта 1945 года.
После войны продолжал службу в армии. С 1955 года полковник Солодов – в отставке. Жил в г. Жуковский.
Награжден двумя орденами Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденами Суворова 3-й степени, Кутузова 3-й степени, Александра Невского, Красной Звезды, медалями.
Умер 29 декабря 1979 года.
В Новосибирске имя Героя Советского Союза Солодова Афанасия Владимировича увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [179, 240, 413, 786, 969].