Родился 7 февраля 1937 года в селе Софиевка Оренбургской области. Рано остался без родителей, воспитывался в детском доме.
Когда исполнилось 16 лет, вместе с другими детдомовцами в 1953 году его направили на работу в колхоз «Красное Знамя» (Оренбургская область). Трудился на сельхозработах.
Осенью 1954 года устроился в Новосибирске на завод «Сибсельмаш» токарем-прессовщиком, проработал семь лет.
В 1961 году поступил на курсы водителей троллейбусов, а 18 марта 1962-го впервые самостоятельно выехал из ворот Дзержинского троллейбусного депо. Затем работал в Ленинском районе. В Кировское депо проработал 27 лет. Его троллейбус всегда был образцовым.
За досрочное выполнение заданий одиннадцатой пятилетки и социалистических обязательств, большой вклад в улучшение качества работы городского коммунального хозяйства и проявленный трудовой героизм Указом Президиума Верховного Совета СССР от 14 августа 1986 года Сергею Антоновичу Явнову присвоено звание Героя Социалистического Труда – первому по своей отрасли во всей стране.
Награжден двумя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, медалями.
Пять созывов Сергей Явнов был депутатом городского Совета. Заслуженный работник жилищно-коммунального хозяйства РСФСР.
За время работы водителем обучил вождению 30 человек [380, 447, 481].